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2017年度 大学入試 数学分析


【大学入試センター試験】

実施日2017/1/15

◆ 数学①《数学Ⅰ・数学A》

問題番号 出題分野 配点 難易度 出題内容
第1問 〔1〕 数と式・実数 10 因数分解と式の計算
〔2〕 集合と命題 10 必要十分条件,命題の真偽
〔3〕 2次関数 10 ★★ 関数の最小値,置き換え
第2問 〔1〕 図形と計量 15 ★★ 余弦定理,正弦定理,三角形の面積
〔2〕 データの分析 15 ★★ 散布図,変数変換による分散・共分散・相関係数
ヒストグラムと箱ひげ図
第3問 場合の数・確率 20 ★★★ くじ引きの確率,条件付き確率
排反事象,和事象
第4問 整数の性質 20 ★★★ 倍数の判定,約数の個数,記数法
第5問 平面図形 20 ★★ 方べきの定理,メネラウスの定理,内心
内接円の半径,余弦定理
総合分析 100 ★★ 昨年よりやや易化

※ 問題分析・・・数学①《数学Ⅰ・数学A》

問題番号 難易度 問題分析
第1問 〔1〕 3乗の因数分解の公式を利用した式の計算が問われた。
4乗の式変形は発展的内容で,2乗をひと塊として考える。
〔2〕 前半は,必要十分条件に関する基本的な問題。条件の否定と『または』『かつ』を組合せた出題である。
後半は,真偽に関する問題で基本的な問題である。
〔3〕 ★★ 2次関数の最小値に関する問題で,計算がやや煩雑な部分がある。
後半は,変数を置き換えて最小値を求めるため,変数のとり得る値に注意が必要である。
第2問 〔1〕 ★★ 余弦定理・正弦定理・三角形の面積に関する問題。設問としては基本的であるが,無理数の計算がやや煩雑である。計算間違いに注意したい。
〔2〕 ★★ (1) 散布図から読み取れるものを選択する問題。3つの散布図をよく観察する必要がある。
(2) 変数変換によって『分散』・『共分散』・『相関係数』が何倍になるかを問う問題で,昨年度も出題されている。それぞれの定義をきちんと理解していなければならないので,この類の問題を対策していた人には易しい。
(3) ヒストグラムと箱ひげ図からの読み取り問題で基本的な内容を問うている。四分位範囲などの言葉の定義を知っておく必要がある。
第3問 ★★★ くじ引きに関する問題で,一度引いたくじは元に戻さないことに注意が必要である。3人の当たりとはずれに関する理解度が重要な問題であった。
今年度は,排反な事象の和事象を考えさせる問題が目新しいが,条件付き確率は,基本が理解できていれば易しい。確率の大小に関する問題も目新しい。
第4問 ★★★ (1) 倍数の判定をする問題で,前半は易しいが後半はやや難しい。考えられる状況を書き出し短時間で処理をするのは難しいだろう。
(2) 正の約数の個数と記数法に関する問題で,約数の個数は典型的な問題であるため解きやすい。一方で,約数の積を2進法で表すという問いに関しては,本当に積を考えると大変な計算になる。10進法から2進法への変換に関する知識が必要であり,誘導の意味が分からなければ難しい問題である。
第5問 ★★ (1) 方べきの定理とメネラウスの定理を利用する問題で,図がそれほど複雑ではないため取り組みやすい。図形問題を解く際は,図をかく練習を怠らず図から様々な定理を使う練習をしておこう。
(2) 余弦定理や面積の公式を利用して内接円の半径を求めるなど,『図形と計量』の分野との融合問題である。(1)ができなくても(2)が単独で解答できる。
総合分析 第1問〔2〕,第2問〔2〕,第3問,第4問などの出題にあるように,教科書の定義をしっかりと理解できているかを問う問題が目立つのが今年のポイントだろう。表面的な理解だけでは太刀打ちできない問題が目立った。
難易度としては,選択問題の難易度が上がったものの共通問題は比較的易しい問題が多いため,全体としては昨年よりもやや易化した。
次年度の対策としては,定義や公式を表面的に使うだけでなくそれらを深く理解した上での演習が重要となるだろう。また,典型的な問題だけでなく,問題を様々な面から出題する傾向があるため,それについての対策も必要となる。




◆ 数学②《数学Ⅱ・数学B》

問題番号 出題分野 配点 難易度 出題内容
第1問 〔1〕 三角関数 15 ★★ 連立方程式,2倍角の公式,解と係数の関係
〔2〕 対数関数,常用対数 15 ★★ 内分点,連立方程式,常用対数
第2問 微分積分 30 ★★ 放物線の接線,面積,3次関数の最大値
第3問 数列 20 ★★★ 等比数列の和と積,対数の計算
(等差)×(等比)の和
第4問 平面ベクトル 20 ★★★ ベクトルの成分,内積
第5問 確率分布と統計的推測 20 ★★ 二項分布,正規分布による近似
連続型確率密度関数
総合分析 100 ★★ 昨年よりやや易化

※ 問題分析・・・数学②《数学Ⅱ・数学B》

問題番号 難易度 問題分析
第1問 〔1〕 ★★ 三角関数の連立方程式で,2倍角の公式と解と係数の関係を利用する問題である。誘導は丁寧なため取り組みやすい。
〔2〕 ★★ 対数関数のグラフ上の点をとり,内分点を考えさせる問題である。連立方程式を立式して解く問題であるが,計算はそれほど煩雑でなく解きやすい。後半は常用対数の計算で,対数の計算ができれば解きやすい。
第2問   ★★ (1) 放物線の接線に関する典型的な問題である。接線の本数に関する問題も頻出テーマの一つである。
(2) 三角形の面積が3次式で表されるため微分を用いて面積の最大値を求める問題で方針も立てやすく取り組みやすい。
(3) 放物線と接線と2直線で囲まれた部分の面積を計算する問題で,計算自体はそれほど煩雑ではない。最後の設問は微分が0となるaの値が無理数であるため,定義域の端点との位置関係を調べて,関数の増減・極値を考える設問で目新しい。
第3問 ★★★ 等比数列に関する問題で,a,bに関する条件を判別式を利用して求めるところは目新しい。
後半は,近年のセンター試験ではあまり出題がなかったが,対数を利用して新しい数列を定義する問題であるが,その部分はそれほど難しくはない。(等差)×(等比)の和は頻出テーマであるため取り組みやすい。
第4問 ★★★ 正六角形をテーマとした問題である。B,Fのx座標の値が1であり,C,Eのx座標の値が-1となることを把握していると後半が考えやすい。ある程度正確な図を短時間でかけるように練習をしておこう。見た目よりも計算量は少なく,例年に比べると分量はそれほど多くない。
第5問 ★★ (1) 二項分布に関する基本的な問題であるため取り組みやすい。
(2) 二項分布の正規分布による近似を求める問題であり,正規分布表からの読み取りができれば取り組みやすい。
(3) 連続型確率変数が与えられた確率密度関数に関する問題で,定義がしっかりと理解できていれば取り組みやすい。計算もそれほど煩雑ではないので,日ごろから計算練習をしっかりとこなしておこう。
総合分析 第1問〔1〕 三角関数+複素数と方程式
第1問〔2〕 対数関数+図形と方程式
第3問 数列+対数
のように,融合問題が目立つ。融合問題とは言えがっつりとしたものではなく,メインは前半に書いた分野で少しだけ他分野の知識を使うというものばかりである。
難易度としては,昨年よりも取り組みやすいためやや易化した。
次年度の対策としては,典型的な問題だけにとどまらず分野を超えて様々なタイプの問題を経験しておくとよいだろう。また,微分積分については3次関数の積分も視野に入れた対策をするとよい。

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